Persamaan Panjang Garis Singgung Lingkaran (Rumus dan Contoh Soal)

1. Perasamaan Garis Singgung yang Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran

Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa lingkaran bertitik pusat di O dengan jari-jari OA dan OA tegak lurus dengan garis PA. Garis PA tersebut merupakan garis singgung lingkaran melalui titip P di luar lingkaran. Dikarenakan setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung besarnya adalah 90 derajat, maka segitiga PAO merupakan segitiga siku-siku PAO. Maka berlaku Theorema Phytagoras sebagai berikut (rumus).

Contoh Soal:

Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 3 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 5 cm maka tentukan panjang garis singgung AB.

Jawab: 

Jadi panjang garis singgung AB pada gambar diatas adalah 4 cm.

2. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Dari gambar gambar diatas dapat kita peroleh:

1. Jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
2. Jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
3. Panjang garis singgung persekutuan dalam = AB = d;
4. Jarak titik pusat kedua lingkaran = MN = p.
5. Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BN maka akan diperoleh garis ON.
6. Garis ON sejajar garis AB, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90 derajat (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS.Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.

Jadi, segi empat ABNO merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BN = r.

Perhatikan bahwa segitiga MNO siku-siku di titik O. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran sebagai berikut.

Karena panjang ON = AB dan MO = R + r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah.

Contoh Soal:

Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 4 cm dan 3 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut!

Jawab:

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 24 cm.

3. Persamaan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

gambar garis singgung persekutuan dua lingkaran

Dari gambar persamaan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran diatas dapat kita peroleh:

1. jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
2. jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
3. panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = l;
4. jarak titik pusat kedua lingkaran adalah MN = p.
5. Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BN maka diperoleh garis ON.
6. Garis AB sejajar ON, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90o (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.

Segitiga MNO  siku-siku di O, sehingga berlaku rumus sebagai berikut.

Karena panjang ON = AB dan MO = R - r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (l) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah sebagai berikut.

Contoh Soal:

Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 15 cm dan 5 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm. Hitunglah jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut!

Jawab:

Jadi jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah 26 cm